izpilda no sākuma tad 

ir visur diferencējama.

Piemērs 1. 

Neitrālais  pieļaujamas 

nepārtraukta atkarība

Tā ir grupa
1. 
2.
3.
Piemērs 2. - Ir grupa

Piemērs 3.

- Nav grupa - Ir grupa
Uzdevums
1.
2.

Grupas vietā jāņem lokāla grupa.

ir vienības elements.

Ir asociatīvā īpašība

Ir apgrieztais elements e apkārtnē.

Tas der tādiem piemēriem kā 

Vienalga cik dimensiju telpai apskatām transformācijas ,
kur z ir vektors

Izvirzām Teilora rindā.

Pieņemsim, ka funkcijai eksistē Teilora rinda, pie kam tā konverģē.

Teorēma.
Ja funkcija  apmierina nosacījumus  un
un izvirzāma ,
kur 

Tad ir atrisinājums parastam diferenciālvienādojumam ,  un otrādi. Katram gludam vektoru laukam  vienādojums apmierina .

Piemērs 1.

lauka vektori

Piemērs 2.

Lee apgalvo, ka visos šajos gadījumos var ieviest dabīgākus parametrus tā ka 

Funkcija , kas ir invarianta pret transformāciju grupu 

Piemērs. 

Kādas  ir invariantas?

Ja no  nav atkarīgas

Teorēma. Funkcija  ir invarianta tad un tikai tad, ja viņa apmierina vienādojumu 

Diferenciāloperators. 

Funkcija  ir invarianta tad un tikai tad, ja viņa apmierina vienādojumu 

Teorēma. Katra viena parametra lokālā transformāciju grupa  ar piemērotu mainīgo substitūciju 
var tikt pārveidota tā, ka transformāciju grupa kļūst par grupu, ko veido pārbīdes gar vienu asi.

Teorēma. Vienādojumu sistēma ,  ir invarianta pret grupu G tad un tikai tad, ja , , kur M ir
- dimensiju virsma, ko nosaka vienādojumi , N-dimensiju telpā.