Matemātikas pamatjēdzieni

Lekcija Nr. 24  (15.12.98)

Pierakstīja Maksims Kravcevs

1. Nejauša staigāšana

(turpinājums - uzdevumi ņemti no grāmatas (1. ))

Iepriekšējās lekcijās bija apskatīta nejauša staigāšana vienā dimensijā. Ja varbūtība pārvietoties katrā no 2 iespējamiem virzieniem ir vienāda (1/2), tad varbūtība atgriezties sākuma punktā ir 1. Apskatīsim tagad līdzīgus gadījumus, kad staigāšana notiek divdimensionalajā un trīsdimensionālajā telpās:

Uzdevums 51. Daļiņa, sākot no koordinātu sākuma punkta (0;0), ar vienādu varbūtību pārvietojas uz vienu soļi uz ziemeļiem vai dienvidiem un vienreizēji arī ar vienādu varbūtību uz rietumiem vai austrumiem (vienā solī - katra no koordinātēm mainās uz vieninieku). Kādā ir daļiņas atgriešanas uz punktu (0;0) varbūtība, pārvietojoties tādā veidā?

Uzdevums 52. Daļiņas, sākot no koordinātu sākuma punkta trīsdimensionālajā telpā ar vienādu varbūtību pārvietojas uz vieninieku katrā no trim koordinātēm. Kāda daļiņu daļa kaut kad atgriežas uz koordinātu sākumu, staigājot neierobežoti ilgi?

Atbilde uzdevumiem 51 un 52: Tāpat kā viendimensionālajā gadījumā, divdimensionālajā telpā varbūtība ir 1. Diezgan loģiski sagaidīt, ka arī uzdevumam 52 tādā gadījumā varbūtība būs 1, bet tā jau ir tikai » 0,239.

Lekcijas laikā netika apskatīts pieradījums. Šeit tiek pierakstīta risinājuma ideja no grāmatas (1. ).

Nr 51. Mēs varam uzskatīt, ka ir 2 neatkarīgas daļiņas kustības - X un Y virzienos. Tad varbūtība P(daļiņa atrodas sākumā pēc 2n soļiem) = P (x=0 pēc 2n soliem)*P(y=0 pēc 2n soliem)= . Pēc Stirlinga formulas var tuvināti novērtēt, kā . Tad lieliem n P(daļiņa sākumā) apmēram vienāda ar šī lieluma kvadrātu.

Atradīsim varbūtību, kad daļiņa atgriežas uz sākumu pēc 2, 4 .. 2n soļiem. Šī varbūtība ir arī vidēja gadījumu vērtība, kad daļiņa atgriežas uz sākumu tieši pēc 2n soļiem. Tā kā ,

tad daļiņas vidējais atgriešanas skaits uz sākumu tiecas uz bezgalību, bet P(daļiņa atgriežas uz (0;0))=1.

Savukārt pēc līdzīga sprieduma trīsdimensionālajā telpā, P(daļiņa sākuma pēc 2n soļiem)

Šī lieluma summa n tiecoties uz bezgalību ir ierobežota. Atbilstoši var aprēķināt P (daļiņa atgriežas)<1

 

2. Varbūtības teorija un citas matemātikas nozares

Uzdevums 53 (Bjufona adata): Uz plaknes atrodas bezgalīgi daudz paralēlas taisnes ar attālumu 2a viena no citas. Adatu ar garumu 2l (l<a) nejauši met uz šo plakni. Kāda ir varbūtība, ka tā šķērsos vienu no taisnēm.

Tas ir viens no slavenākiem uzdevumiem par ģeometrisko varbūtību. Parasti, risinot šo uzdevumu, apskata adatas centra attālumu līdz tuvākai taisnei un leņķi, kuru veido adata (taisne, kurai tā pieder) un tuvāka no paralēlām taisnēm. Šie divi lielumi noteic, vai adata šķērsos taisni vai nē. Ja uzskatīt, ka pirmais lielums var pieņemt ar vienādu varbūtību vērtības no [0;a] un otrais - no [0;p /2], tad vajadzīgu varbūtību ir viegli atrast:

P= 2l/p a.

Šīs uzdevums dod iespēju tuvināti atrast p ar vieglu eksperimentu!

Tagad izlasiet sekojošu uzdevumu un pamēģiniet saprast, ko nozīmē tā nosacījumi:

Uzdevums 56 Divas kastes satur vienādu ložu skaitu (dažas no tām baltas un dažas melnas). No katras kastes izņem n (n>=3) lodes ar atgriešanu. Atrast n un kastu saturu, ja zināms ka varbūtība tam, ka visas baltas lodes ir izņemtas no pirmās kastes, vienāda ar varbūtību, ka no otrās kastes ir izņemtas visas baltas vai visas melnas lodes.

Šo uzdevumu piedāvāja E.(J?) Molina. Reāli tas ir slavenas Ferma teorēmas pieraksts varbūtību valodā. Ja pierakstīt uzdevuma nosacījumus vienādības veidā, ar z atzīmējot baltu ložu skaitu pirmajā kastē, ar x un y - atbilstoši baltu un melnu ložu skaitu otrajā kastē, tad tas izskatīsies kā:

vai

Šie divi uzdevumi ir vēl viens apliecinājums tam, ka visas matemātikas nozares ir cieši saistītas un nav iespējams pateikt vai šis ir uzdevums no “tīras” varbūtības teorijas vai trigonometrijas, vai skaitļu teorijas.

 

3. Statistiskā neatkarība.

1913. gadā tika izlaists J. Bernulli grāmatas “Par lielu skaitļu likumu” (krievu valodā) izdevums, kas bija veltīts šī likuma divi simti gadu jubilejai. Nav daudz tādu likumu, kuriem atzīmē jubilejas! Interesanti, ka matemātiķi uzskata šo likumu par eksperimentālu, bet fiziķi par matemātisko.

Šo likumu varētu noformulēt arī tā: ja kaut kādā kopā izpildās kāda sakarība, tad arī šis kopas neatkarīgajā apakškopā izpildīsies šī sakarība. Šeit ir būtiski, ka apakškopai ir jābūt neatkarīgai, jo parasti var speciāli izvēlēties tādu apakškopu, kur sakarība neizpildīsies.

Nākamā lekcijas daļa balstās uz grāmatas (2. ) piemēra lpp. 14.-21. (Šī grāmata ir viens no svarīgākiem iemesliem, kas ietekmēja uz šī kursa rašanas ideju). Tātad sāksim…

 

  1. Vieta formula

    2. Sāksim ar vienkāršu trigonometriju:

    Izmantojot: , no kā seko ka ,

    dabūjam sekojošu vienādību:

    (1.3)

    Šīs formulas speciālais gadījums kad x= p /2 ir klasiskā Vieta formula:

  2. Tagad sāksim no citas puses

    3. Jebkuru skaitļi t (0£ t£ 1) var viennozīmīgi pierakstīt kā:

    , e i? {0;1} (2.1)

    (patiesībā, katrs racionāls skaitlis šādā veidā var būt pierakstīts divos veidos, analoģiski kā decimālā pierakstā 0,99999… un 1,0000…, mēs izvēlēsimies otro no šiem veidiem). Var uzskatīt e i, kā funkcijas no t: e 1(t), e 2(t), e 3(t) utt. Šo funkciju grafiki izskatās sekojoši:

     

    No šīm funkcijām pāriesim uz funkcijām rk(t)=1-2e k(t), k=1, 2, 3, … (Rademahera funkcijas). Ar šīm funkcijām (2.1) var pārrakstīt, kā

    (2.4)

    Izmantojot divas analīzes vienādības

    un ,

    formulas (1.3) un (2.4) var pārveidot:

    un ir spēkā sekojoša izteiksme (3. un 5. formulas no iepriekšējas vienādības):

    (2.5)

    Reizinājuma integrālis ir vienāds ar integrāļu reizinājumu!

  3. Pamēģināsim noskaidrot vai tā ir nejaušība vai kaut kāda sakarība.

Apskatīsim sekojošu funkciju:

Šai funkcijai vērtība ir konstanta katrā no intervāliem

un vienādas ar . Katrā intervālā ir savā vērtība, kas atbilst vienai no iespējamām +1 un -1 virknēm ar garumu n. Tātad

kur ārēja summa tiek ņemta pēc visām iespējamām +1 un -1 virknēm ar garumu n.

un tāpēc

(3.1)

Ja paņemt , tad iznāk

Tagad apskatīsim gadījumu, kad . Izmantojot to, ka

Tādā veidā mēs atradām citu formulas (1.3) pieradījumu. Vai tas ir labāks nekā iepriekšējais pieradījums? Kaut gan otrais pieradījums ir sarežģītāks, bet arī vairāk pamācošs, jo saista Vieta formulu ar skaitļu bināro pierakstu. Kāda ir binārā pieraksta īpašība, kas palīdzēja pieradījumā?

4. (n reizes).

Apskatīsim kopu, kur jebkuram t no šis kopas izpildās r1(t)=+1, r2(t)=-1, r3(t)=-1. Pietiek apskatīt r1, r2 un r3 grafikus, lai noteiktu, ka šī kopā ir intervāls (3/8;4/8). Šī intervāla garums ir 1/8 un 1/8=1/2*1/2*1/2. Šo triviālu vienādību var pierakstīt kā:

m { r1(t)=+1, r2(t)=-1, r3(t)=-1}=m {r1(t)=+1}m { r2(t)=-1}m { r3(t)=-1}

kur m - ir attiecīgas kopas (kas tiek rakstīta iekš {} ) mērs (garums). Tas var būt vispārināts līdz d 1,…, d n - +1 un -1 virknei. Atbilstoša vienādība tiks pierakstīta:

m { r1(t)= d 1, r2(t)= d 2,…, rn(t)=d n}=m {r1(t)= d 1}m { r2(t)= d 2}…m { rn(t)= d n }

Ja apskatītu šo vienādību, kā skalāro reizinājumu, tad tas nozīmētu, ka šie lielumi ( ri ) ir ortogonāli.

Statistikā tās savukārt nozīmē statistisku neatkarību!

 

Literatūras saraksts

  1. ?. ?????????, ????????? ????????????? ????????????? ????? ? ?????????. ??????, ?????, 1975
    2.
  2. ?. ???, ?????????????? ????????????? ? ?????? ????????????? ??????? ? ?????? ?????. ??????, ???????????? ??????????? ??????????, 1963