Ģenerējošās funkcijas.

Riemann’s Zeta Function (Reimanna-Zeta funkcija) – kompleksā mainīgā funkcija (analītiska funkcija)

Lielākā mērā šīs funkcijas dēļ, ja skatās Internetā, kas ir aktīvākais autors par Computer Sinces, tad tas ir Riemanns (miris 1866.g., kad datoru nebij).

Zeta funkciju izdomājia Eilers.

Visu iesāka Abraham de Moiore (1667-1754)

Ir spēļu kauliņš. Met divus kauliņus. Vajag noskaidrot, kāda varbūtība, ka kopsumma ir 5.

Moiore darīja tā:

Apskata funkciju

x1, prob=p1

x2, prob=p2

…

xS,, prob=pS

Ģenerējošais polinoms

Mūsu piemērā.

Pie pakāpes būs tā īstā vērtība. t- formāls mainīgais(tā vietā parādīsies pats rezultāts)

 

Leonard Euber (1707-1783)

Apskata funkciju s (n)

Ņem skaitļa n visus dalītājus un sasummē kopā.

Ja pirmskaitlis, tad s (p)=1+p

Var taisīt rekurentas sakarības, jo funkcijas ir multiplikatīvas.

Tad:

s (ab)=1+a+b+ab=s (a)+ s (b)

…

s (a2)=1+a+a2=(a3-1)/(a-1)

…

Rodas rekurenta formula

s (n)= s (n-1) + s (n-2) - s (n-5) - s (n-7) + s (n-12) + s (n-15) …
  1. plusi un mīnusi iet pamīšus;
  2. Kāda ir regularitāte?

    3. Apskata pirmās differences

    1 2 5 7 12 15 22 26 35 …

    1 3 2 5 3 7 4 9 5 11 6 …

  3. s (n-1) kamēr negatīvi;
  4. ja 0, tad ieliek paðu n.

 

 

Pierāda, ka šīs abas vienādības ir ekvivalentas:

S=(1-x)(1-x2)(1-x3)(1-x4)(1-x5)(1-x6)(1-x7) …

S=1-x-x2+x5+x7-x12-x15+x22 …

No pārveidojumiem izriet, ka tās ir ekvivalentas.

 

Joham Peter Gustav Lejeune Dirishlet

Var apskatīt pakāpju rindā ko sarežģītāku

S vairs nav dažādas pakāpes, bet gan otrādi.

Pati vienkāršākā no Dirihlē rindām ir koeficientu rinda 111111…

Un tā ir Riemenna-Zeta funkcija.

 

Riemenna funkcija konverģē pie S>1

 

Eilers pierādīja teorēmu:

 

Dirihlē tehnika bij vajadzīga, lai pierādītu tādu lietu, ka jaņem jebkādu aritmētisku progresiju, tad tā satur bezgalīgi daudz pirmsskaitļu (atskaitot dažus primitīvus piemērus, kā piem., 2,4,6,8,..)

Riemanns uzrakstīja disertāciju par kompleksā mainīgā funkcijas teorēmu. Viņš apskatīja Zeta funkciju kā kompleksā mainīgā funkciju, un izrādījās, ka viņa nav visur definēta.

 

Cauchy

Rezīdijs nosaka, kas notiek singulārajos punktos.

 

Ģenerējošās funkcijas, kas saistītas ar Zeta funkciju:

 

Gauss

Gendre

Hypothesis

Viņi saka, ka nogrieznī starp 1 un n, esot tik daudz pirmsskaitļu.

 

Eilers pierādīja

 

Riemenna hipotēze parādās vienā vietā viņa sacerējumā, kur teikts, ka visticamāk, ka visas netriviālās saknes atrodas uz vienas vertikālas saknes.

 

Pēc Zeta funkcijas laika gaitā tika pierādītas daudzas citas funkcijas.

 

Weil.

42.g. pierāda Riemenna hipotēzi.

 

 

Riemenna hipotēzei ir daudz ekvivalentu fomulējumu.